"Zwischen 1 und 6": Sind die Randwerte mit gemeint, oder nicht?

Question

In elementaren mathematischen Texten wird oftmals das Wort "zwischen" verwendet, um einen Zahlenbereich zu bezeichnen.

Z.B. kann man bei einem gewöhnlichen Spielewürfel Zahlen "zwischen 1 und 6 würfeln". Ist diese Sprechweise so korrekt, sind also die Zahlen 1 und 6 in dieser Wendung inbegriffen?

Wenn in einem Mathebuch die Aufgabe steht: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 6 zu würfeln. Dann könnte man denken, dass die Zahlen 1,2,3,4,5,6 gemeint sind, die Wahrscheinlichkeit also 1 ist, oder dass nur 2,3,4,5 gemeint sind und die Wahrscheinlichkeit 4/6 = 2/3 beträgt.

Die erste Variante konnte ich an verschiedenen Stellen im Internet finden, z.B. http://www.mathematik-wissen.de/einstufiges_zufallsexperiment.htm oder https://www.mathebibel.de/sicheres-ereignis.

Allerdings sagt der Duden dass "zwischen" "eine Erstreckung von etwas innerhalb von zwei begrenzenden Punkten" bezeichnet. Somit dürften die Randzahlen dann nicht mit gemeint sein.

Welches ist also die korrekte Bedeutung, wenn man sagt "zwischen 1 und 6" und wieso?

Answer 1

Bei zwischen sind die Grenzen inklusive

Dieses Präposition ist ein sehr altes Wort und hat deshalb auch sehr viele unterschiedliche Bedeutungen und Anwendungen (siehe obiger Link zu DWDS). Unter all diesen ist es auch ein Verweis auf eine Zahl innnerhalb zweier Grenzwerte.

Da es sich hier um Sprache und nicht um eine Formel oder gar eine Operand handelt, fehlt es an der nötigen Präzision, die man in einem mathematischen Kontext natürlich herstellen muss.

Diese fehlende Präzision führt dazu, dass es im sprachlichen Kontext unerheblich ist, ob die Grenzen einbezogen werden oder nicht. Bei folgender Aussage

Wir kommen zwischen zwei und drei Uhr.

Kann es sogar sein, dass man schon kurz vor zwei oder erst kurz nach drei eintrifft, denn es wurde im obigen Satz nur ein grober Zeitrahmen angegeben.

Auch wenn es genauer sein muss wie hier:

Es werden zwischen 10 und 15 Teilnehmern erwartet.

werden mindestens 10 Sitzplätze, aber nicht mehr als 15, erwartet. Die Grenzen sind selbstverständlich inkludiert.

Wir alle haben diese sprachliche Definition beim Kinderspiel gelernt:

Nenn eine Zahl zwischen 4 und 9!

Es wurde uns schnell klar gemacht, dass sowohl die 4 als auch die 9 gültige Zahlen sind. Auch hier sind die Grenzen inkludiert.

Wenn es also genau darauf ankommt, dass die Grenzen nicht eingeschlossen sind, darf man sich nicht auf das Wörtchen zwischen alleine verlassen. Man würde also z.B. sagen müssen:

Nenn eine Zahl zwischen 4 und 9, Grenzen nicht eingeschlossen.

oder viel besser:

Nenn eine Zahl, die größer als 4 und kleiner als 9 ist.

Answer 2

Es ist wenig fruchtbar, die Bedeutung von Aussagen in fachsprachlichem Kontext aus dem Duden oder der Verwendung von Wörtern im Alltag herleiten zu wollen. Im Alltag kann man 5 auch mal gerade sein lassen.

Auf die standardsprachliche Bedeutung von zwischen ist in anderen Antworten ausführlich eingegangen worden. Die Frage bezieht sich aber auf mathematische Texte und das Problem besteht hier ganz klar in einem Mangel an fachsprachlicher Ausdrucksweise.

Mathematik ist wesentlich das Herstellen struktureller Klarheit. Jeder Versuch, dieses Ziel zu erreichen, ist von vorn herein zum Scheitern verurteilt, wenn nicht deutlich gesagt wird, wovon überhaupt die Rede ist.

Sehr deutlich wird der Unterschied zwischen Standard- und mathematischer Sprache an den mathematisch logischen Konjunktionen und und oder und standardsprachlichen Wörtern der Wortart Konjunktion. siehe auch

Ob die Grenzen eines Intervalls eingeschlossen sind oder nicht, kann von Bedeutung sein. Ist das der Fall, muss das in mathematischen Texten ausdrücklich unterschieden werden. Auch wenn es nicht von Bedeutung ist, wird ein Mathematiker das i.d.R. begründen. Es spielt zum Beispiel keine Rolle, ob die Ober- oder Untergrenze eingeschlossen ist, wenn für alle Werte die Wahrscheinlichkeit des Auftretens Null ist und es ausschließlich um zufällige Verteilung geht.

In der Praxis werden ein- oder ausgeschlossene Intervallgrenzen beispielsweise häufig durch unterschiedliche Klammern gekennzeichnet.

[0,1] 0 und 1 sind eingeschlossen

[0,1[ oder [0,1) 0 ist eingeschlossen, 1 ist ausgeschlossen

Bei jeder Auswahl von Elementen aus einer Menge muss diese Menge eindeutig bestimmt sein. Das Beispiel aus der Frage zeigt es ja deutlich. Die in der Frage erwähnten Internetseiten geben eindeutig die Ergebnismenge an und schließen damit jeden Zweifel darüber aus, was mit zwischen gemeint ist.

Wenn in einem Mathebuch die Aufgabe steht: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 6 zu würfeln.

... ist das Mathebuch ohne weitere Angaben ein Fall für den Mülleimer, sofern es sich nicht um ein Beispiel zur Verdeutlichung der Notwendigkeit präziser Ausdrucksweise handelt. Die Antwort könnte lauten: Beim Blackjack ist die Wahrscheinlichkeit Null.

Ohne weitere Angabe kann davon ausgegangen werden, dass alle möglichen Ergebnisse inbegriffen sind. Warum sollten die 1 und die 6 ausgeschlossen sein? Die Wahrscheinlichkeit hängt dann von der Anzahl der Würfel ab. Mit einem einzigen Würfel ist das Ergebnis mit Sicherheit eine der Augenzahlen aus der Menge {1,2,3,4,5,6} und die Wahrscheinlichkeit damit 1. Mit zwei oder mehr Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 1 gleich Null ... Oder sollte am Ende in Wahrheit gemeint sein, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jedes der möglichen Ergebnisse ist?

Answer 3

Allerdings sagt der Duden dass "zwischen" "eine Erstreckung von etwas innerhalb von zwei begrenzenden Punkten" bezeichnet. Somit dürften die Randzahlen dann nicht mit gemeint sein.

Ganz so klar sagt das der Duden nicht!

Je nach Situation können die Endpunkte mitgemeint sein.

Dies wird meist geklärt mit der Formulierung “von ... bis” bzw. “von ... und bis mit” oder “ab .. bis”

Bei den Augen eines Würfels ist der Fall klar.

Bei Terminen und Altersangaben könnte die Angabe mit “zwischen” tatsächlich Verwirrung stiften.

Answer 4

Ja, das ist zweideutig.

Während von - bis den einschließenden Sinn präzise wiedergibt, fehlt ein passendes Wort für den ausschließenden Fall. Ein mathematisches Lehrbuch könnte daher versuchen, zwischen als Gegensatz zu von - bis zu definieren, ohne das ausdrücklich zu kennzeichnen. Praktisch wird z.B. die Notation [1,6], bzw. ]1,6[ oder gemischt [1,6[ gerne verwendet.

Die Definition aus dem Duden ist wenig hilfreich, da innerhalb nicht einfach für zwischen eingesetzt werden kann. Selbst im Fall zwischen den Grenzen X, Y ist nicht klar, wo die Grenzen nun genau liegen, da Grenzen typischer einen abstrakteren Typ haben als die Auswahl elemente, die Grenze zwischen Deutschland und Dänemark, innerhalb der Grenzen Deutschlands, zumal die Grenzen oft verschmiert, schwammig (English "fuzzy") sind, etwa 200 Meter von der Küste entfernt, wobei die Küste keine klare Linie ist nach Benoit Mandelbrot sogar unendlich lang. Jedoch, wenn man sich zwischen etwas entscheiden muss, schließt das die Grenzen offensichtlich ein.

An zwischen etwas sieht man auch, das zwischen als Präposition für eine Einheit verstanden wird. Wäre die Präposition assoziativ auf beide Elemente einzeln anzuwenden (zwischen (eins und sechs)) = zwischen eins und zwischen sechs, würde das nur bei, neben, hier oder der gleichen bedeuten. Tatsächlich wird stattdessen von - bis verwendet. Analog dazu wäre etwa nach - vor denkbar. Meiner Erfahrung nach wird selbst für von - bis gerne exklusiv oder inklusiv dazu gesagt, bzw. unnötiger Weise auch von - bis einschließlich.

Wieso das so ist? Weiß ich auch nicht genau, scheint relativ kompliziert zu sein.

Dafür sollte man vielleicht mal eine historische Forschung finden. Vergleichen ließen sich etwa zu, IE. *doh₁ und zwei, IE. *dwóh₁ bzw. bis, "bei+zu" und latein bis, IE. *dwís, griechisch dia- IE. *dwis-eh₂ mit zwi-s-chen, AHD zwiska, PGem *twisk(j)a vergleichen, sowie beide, En. both, PGem *bai- (IE. ?), und bei, englisch by, PGem *bi, IE. *h₁epi (woher auch Abend, Epi-[Zentrum], etc.; Vgl. dazu auch auf, oben, über, **hepp!*, En. up und die Formulierung von - über [bis]). Bunt wird's erst, wenn ägyptisch jmjtw /imituː/ und inmitten, bzw. arabisch bayna hinzu gezogen werden. Eventuell ist auch Griechisch kai edo "für", edo "hier", IE. *do (etwa oben *doh₁?) relevant, sowie eher noch im Bezug zur Mathematik durch (etwas durch bzw. für vier teilen; Englisch 1 through 6 "1 bis 6"), PGem *þurhw, "Likely from Pre-Germanic *tr̥h₂(h₃)kʷ-, a compound of Proto-Indo-European *terh₂- (“to cross”) + *h₃ekʷ- (“to see”). Others take the second element to be *-kʷe. In either event related to Sanskrit तिरस् (tiras, “through”), तिर्यञ्च् (tiryañc, “transverse, horizontal”)", dabei ist *-kʷe die Wurzel zu dem oben genannten Gr. kai; Vgl. dazu auch Lat. trans<*tr̥h₂-n̥t-s<*terh₂-, transport (für *h₁ep war zu lesen "... referring to pack animals or riding"), vgl. wegen *-nt- auch unter, nieder (En. nether regions), demnach Unter-Nehmung (wieso unter, jetzt mal wirklich!?). Wenn man sich bei unter durchklickt, findet man auch IE. *h₁entér "between", daher inter- sowie unter, jenes allerdings "*conflated with n̥dʰér (“under”)", dazu steht "*Likely from *h₁ní (“down, downwards”) +‎ dʰe (locative particle) ["where"]". Tatsächlich erwähnt Pfeifer "ahd. untar zwiskēn":

zwischen Präp. ‘innerhalb zweier (räumlicher oder zeitlicher) Begrenzungen, innerhalb einer Menge’. Aus adverbiell gebrauchten präpositionalen Verbindungen wie ahd. untar zwiskēn ‘unter, in der Mitte von zweien’, untar in zwiskēn ‘untereinander’ (9. Jh.), auch zusammengezogen untarzwiskēn sowie inzwiscōn, mhd. under, in zwischen, enzwischen entwickelt sich die einfache Form mhd. zwischen, zwüschen, (md.) zwuschen Adv. und Präp., mnd. twisken, twischen, mnl. tusscen, twussen, twisscen, nl. tussen. Auszugehen ist daher von einem Dativ Plural des sowohl distributiven wie kollektiven Zahladjektivs ahd. zwiski ‘zweifach, zu zweit, zweiteilig, abermalig’, Plur. ‘beide’ (8. Jh.), mhd. zwisc, zwisch ‘zweifach, je zwei’, Plur. ‘beide’, asächs. twisk ‘zweifach’, das germ. *twiska- bzw. *twiskja- voraussetzt; vgl. dazu auch aengl. betweoh, betwux, betwisc, engl. (älter) betwixt ‘dazwischen’. Es handelt sich um eine Bildung mit dem Suffix ie. -ko- zum Multiplikativadverb ie. *du̯is ‘zweimal’; s. dazu ↗Zwilling und ↗Zwirn. In bezug auf zeitliche Grenzen steht zwischen seit dem 14. Jh.

DWDS/zwischen, _{Formatierung nicht übernommen}

Wegen dem Niederländischen Vergleichsmaterial muss ich an tauschen und täuschen denken, die von unklarer Herkunft sind. tauschen wird zuweilen mit trade übersetzt, zu PGem. *trado "track, way" (Vgl. etwas weggeben), "Proto-Indo-European *drā-, *der- (“to walk, step, run”). Cognate with Sanskrit द्राति (drāti, “to run”) and Ancient Greek δρόμος (drómos, “running”)"; Vgl. dazu tragen, bzw. heben, IE. *keh₂p- "grab, seize", hauen *kewh₂- (abhauen, abheben; Ausflug; Vorschlag) zu *h₁epi, bzw. zu *h₂epó, denn bei der Gelegenheit sollte auch von, "*Proto-Germanic *afanē, *fanē, *funē (“from”), compound of *afa (from Proto-Indo-European *h₂epó (“from, off”)) + ana (from Proto-Indo-European *h₂en- (“on”))" und daher Anfang (an + fangen, verwechselt mit Angriff?) und Ende, IE. *h₂ent- "front, face" verglichen werden, anhand derer deutlich wird, wie wirr bzw. unsicher das ganze ist.

Abschließend lässt sich sagen, dass es einfach logische ist, nur Zahlen zu nennen, an denen auch ein Interesse besteht. Bei großen Mengen macht es auch nur einen geringen Unterschied, zumal zwischen sechs- und siebenhundert oft als Schätzwert abgegeben wird.

Answer 5

Die Zweideutigkeit läßt sich leicht vermeiden, wenn man z. B. Zahlen von Eins bis Sechs würfeln schreibt.

Answer 6

Mathematisch auf Deutsch gleicht nicht Deutsch (e.g. mathematisch können Menge zugleich offen und abgeschlossen sein, was im Alltagsdeutsch absurd klingt). Das gilt auch für Recht- und Musiksprache, usw.

Kein Mathematiker würde das ohne die Grenzpunkte verstehen. Das zwischen des Dudens wird an reellen Zahlen modelliert, bei deren Anwendung an der Realität wohl flexibler (verglichen mit ganzzahlige) in dem Sinne sind, dass man die Grenzpunkte gar nicht messen kann. Daher braucht man nicht unbedingt so präzis im Wörterbuch zu sein.

Beispiel. In der Realität „kommt man zwischen 19 und 20 Uhr an“ bedeutet das Intervall (19,20) oder [19,20] (ohne bzw. mit den Grenzpunkten), weil man keine haargenaue Uhr besitzen kann, die praktisch diese zwei Möglichkeiten unterscheidet.

Deine Situation ist mit ganzzahligen und daher unterschiedlich. Die Grenzwerte sind drin.

Mein Rat: beim Mathematik-Lernen, weg vom Duden. Die mathematische Sprache ist nicht vom Duden erfasst worden. Je fortgeschrittener dein mathematisches Kenntnis, desto abweichend dein Wortschatz von üblichen Wörterbüchern.